Choix du modèle
Dans le modèle de Bohr, l’électron suit un mouvement de type planétaire
(trajectoire circulaire plane) autour du noyau. Cet électron n'est soumis qu'à la force
électrostatique :
Fe = K e. -e / r², avec K = 1/(4.p.eo)
Les calculs s'effectuent à partir de l'énergie. On calcule l’énergie totale de
l’électron :
E = Ep + Ec
Détermination de l’Ep
Par définition, l'énergie potentielle dérive d'un potentiel, ici le potentiel
électrique :
dEp = Fe. dr,
Ep = rò ¥ Fe.dr = ò
-ke²/r². dr = [ke²/r] r¥
= -ke²/r
Détermination de l’Ec :
Si un mouvement est circulaire et uniforme :
a = an + at,
Avec :
a = an = v²/r
Or :
SF = ma,
et ici :
SF = Fe
D’où : Fe = m.an,
ou encore :
m.v²/r = ke²/r²
Or :
Ec = ½ m.v² = ½ ke²/r = - ½ Ep
Donc :
E = Ec + Ep = ½ Ep = - ½ ke²/r
Cette énergie correspond à l’ionisation (intégration de r à
l’infini) : Ei, l'énergie d’ionisation.
Dans cette équation, E est une fonction continue de r (à chaque r correspond une
énergie E). Or les spectres sont discontinus : nécessité de nouvelles hypothèses
mécaniques.
L’hypothèse de Bohr est la quantification du moment cinétique :
s = r ^ m.v,
s = m.r.v
m.r.v = n.h
Or :
mv² = ke² / r, et r²m²v² = n²h².
Par identification des v² :
r = e 0.h².n² / (p .m.e²)
D’où :
E = - (m.e4) / (8.e ².h².n²)
Rayon et énergie sont des grandeurs quantifiées. n est appelé le nombre quantique
principal.
