Chimie structurale  -   Chimie quantique

Quantification de l’énergie
Modèle de Bohr


Le modèle se base sur les considérations empiriques issues de l'étude des spectres d'émission.

Niels Bohr propose en 1913 un modèle révolutionnaire basé sur l'hypothèse de la quantification : le moment cinétique orbital de l'électron ne peut prendre que certaines valeurs entières, positives non-nulles, des valeurs quantifiées : la mécanique quantique est née.


Modèle planétaire de Bohr

Dans le modèle de Bohr, l’électron suit un mouvement de type planétaire (trajectoire circulaire plane) autour du noyau. Cet électron est soumis à la force électrostatique Fe générée par le noyau.

L'énergie totale de l'électron est de la forme :

E = Ec + Ep = ½ Ep = - ½ ke²/r

Démonstration

Cette énergie correspond à l’ionisation (intégration de r à l’infini) : Ei, l'énergie d’ionisation.

Dans cette équation, E est une fonction continue de r (à chaque r correspond une énergie E). Or les spectres sont discontinus : nécessité de nouvelles hypothèses mécaniques.


Hypothèse quantique de Bohr

1. Théorie de Planck

Dans la théorie de Planck, l’énergie des électrons est quantifiée (E1, E2, ...), et chaque absorption ou émission s’accompagne d’un échange d’énergie DE :

DE = h.n = h.c / l

2. Quantification du moment cinétique

L’hypothèse de Bohr consiste à quantifier le moment cinétique :

m.r.v = n.h

On peut montrer que :

r = e 0.h².n² / (p .m.e²)

Et :

E = - (m.e4) / (8.e ².h².n²)

Démonstration

Rayon et énergie sont des grandeurs quantifiées. n est appelé le nombre quantique principal.

Le niveau n = 1 est le niveau fondamental de l’hydrogène.

Rayon de la première orbite de Bohr, a0 = r1 = 52,9 pm

Énergie du niveau fondamental de l’hydrogène :

E(n=1) = E0 = - 13,6 eV

Pour les autres valeurs du nombre quantique principal :

r (n) = a0 . n²

E(n) = - 13,6 / n² eV

On peut ainsi calculer les niveaux d'énergies de l'atome d'hydrogène :

E(n = 2) = -3,4 eV
E(n = 3) = -1,5 eV
E(n = 4) = -0,85 eV
E(n = 5) = -0,54 eV
E(n = ¥) = 0 eV


Réinterprétation du spectre de l’hydrogène

Le modèle de Bohr permet de retrouver la formule de Ritz avec :

RH = (m.e4) / (8.e ².h²)

La constante RH de Bohr est un peu différente de celle établie expérimentalement. Pour que les valeurs concordent, il faut tenir compte de la masse réduite du système électron-noyau :

µ = m.M / (m + M)


Extension du modèle de Bohr aux hydrogénoïdes

Les hydrogénoïdes sont des ions composés d'un seul électron. Ce sera par exemple :

He+, Li2+, Be3+...

Dans le cas des hydrogénoïdes :

q(noyau) = + Z.e ; q(électron) = - e

On en déduit les formules étendues :

r (n) = a0 . n² / Z

E(n) = - 13,6.Z² / n² eV


Extension à tous les atomes

Le modèle de Bohr est vite limité puisqu'il ne peut tenir compte de la répulsion inter-électronique au sein de l'atome. C'est le modèle de Slater qui vient compléter le modèle de Bohr.


Applications

 


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